求有多少个整数可以写成两个有理数的立方和

困扰数学界几个世纪的难题终于有了重大突破！

如果这个难题得到解决，将直接影响到一个著名的未解之谜——Behr和Sveneton—Dale猜想的解决。

贝赫和斯维登—戴尔猜想是数学界七大千年谜题之一，有人悬赏高达100万美元证明它。

那么，你突破了哪些难题。

求有多少个整数，可以写成两个有理数的立方和。

例如，整数13可以拆分成有理数7/3的立方和有理数2/3的立方之和:

看似不难，但这几百年来数学家提出的各种猜想，都没有得到真正彻底的证实。

普林斯顿高等研究院数学教授彼得·萨尔纳克对此感叹道:

分析两个数的立方和，意味着研究的家庭很小，家庭越小，问题越难。

我只能说，这个问题很难，特别难，答案几乎遥不可及。

但对于学术界来说，这个问题的解决至关重要。

它不仅是解决许多纯数学问题的核心突破口，在密码学等应用数学领域也备受关注。

没有证据，没有数学现在，三位数学家再次挑战这一难题，成功突破其中一个关键瓶颈

那么这个数学问题的难点在哪里，数学家们又是如何取得这个突破的呢。

选择立方幂的死磕。

我们先来来回回看看这个待解的难题:

有多少个整数可以表示为有理数的立方和。

这时候可能有朋友会疑惑，为什么数学家坚持三次方的和而不是平方，四次方，五次方…。

答案也很简单——更难，更有用。

有三个具体原因:

第一，除了三次方，还解决了一些问题，是小于它的二次方，还是大于它的n次方。

以二次幂为例，已经有非常具体的方法来判断哪些整数可以是两个有理数的平方和。

这种方法是由数学家阿尔伯特·吉拉德和皮耶·德·费玛在17世纪初提出的如果不满足这个条件，整数就不能用有理数的平方和来表示

首先，将选定的数分解成素数幂的形式。以整数490为例，可以分解成以下形式:

然后，检查分解的质数:如果一个质因数除以4的余数是3，那么它的幂一定是偶数只有这样，原数才能表示为有理数的平方和

这里7除以4除以3，其指数为2，满足偶数的要求。因此，整数490可以由两个有理数的平方和来表示:

其次，基于上述条件，是否可以用两个有理数之和来表示也可能成为除了奇数和偶数之外，将整数有效划分为两大阵营的另一种分类方法。

毕竟数学家计算过，发现能用有理数的平方和表示的整数比例很低，n次方也是。

相比之下，可以用立方和表示的整数非常丰富。

就从1到100的整数中，59可以用两个有理数的立方和来表示:

蓝数可以写成两个有理数立方的和。

这样，大约59%的整数可以用两个有理数之和来表示，甚至数学家怀疑这个值可以扩展到所有的整数范围。

第三，数学家研究这个问题不仅仅是为了有一种新的整数除法，还与数论中的热点研究领域——椭圆曲线有关。

椭圆曲线方程

椭圆具有极其复杂的结构，这使得它成为纯数学，应用数学等许多领域的中心，在密码学中也非常有用。

而立方问题是椭圆曲线的特例。

如开篇所述，贝赫和斯万顿—戴尔猜想是椭圆曲线领域的一个核心问题。

如果这个猜想成立，我们可以推断出符合上述1~100整数性能的结论:

在这1000万个数中，约59%是两个有理数立方的和。

但是，上面提出的这么多推论，都只是在猜想的层面。

在过去的几百年里，许多数学家试图解决这个难题，但他们要么不能得出结论，要么不能证明他们的推论是正确的。

与指数为2时不同，这个整数很容易证明是两个有理数的平方和毕竟当指数为3时，没有确切的方法证明这个整数是否可以分解

但试图把整数一个一个暴力拆解是不现实的。

因为在整个拆卸过程中，涉及的计算量是巨大的。

毕竟，分割成两个分数立方和比分割成两个整数立方和要困难得多...

以栗子为例。虽然整数2083可以分解成两个分数的立方和，但是仅仅这两个分数的分母就长达40多个数字！

这还只是一个整数的计算，更别说其他整数的逐个计算了。

现在，终于有三位数学家成功突破了这个问题的瓶颈，首次给出了可以分解为两个有理数立方之和的整数比例:

9.5%~83%。

那么这个范围是怎么来的呢。

这个范围怎么划定。

如上所述，椭圆曲线的结构极其复杂，这使得它的直接求解非常困难。

于是三位数学家开始思考:为什么不试着把它和更容易处理的东西联系起来呢。

想到这里，我就想到了《黑客帝国》。

三位数学家中的一位在今年4月证明了一个理论:

如果一个三次和方程有有理数解，那么至少有一个2×2×2×2的四维矩阵与之对应。

根据这个理论，如果能找到计算整数的两个分数立方和方程是否有对应的四维矩阵的方法，就能找出不能表示为有理立方之和的整数的范围。

具体求解过程涉及两种理论:

第一部分是几何数论，涉及到计算不同几何图形在坐标系中的格点，另一部分是解析数论，与哈代—利特伍德圆法有关。

最后的结果是大约1/6的整数没有对应的四维矩阵换句话说，这个1/6整数是不可能表示成两个有理数之和的

这样就确定了这个范围的最大上限——最多可以把5/6的整数表示为有理数立方和。

所以要求解下限，就把定理反过来。

不是这样的。

毕竟这个理论的逆定理还没有被证明为真，即如果一个整数能找到其对应的四维矩阵，也可以表示为两个有理数的立方和。

为此，三位数学家向两位椭圆曲线领域的专家求助，他们是奥斯汀德克萨斯大学的Ashay Burungale和普林斯顿大学的Christopher Skinner。

经过一些修补，他们给出了逆定理在特殊情况下成立的条件在这种情况下，至少有2/21个整数，可以表示为两个有理数的立方和

而2/21的值也是这个整数范围的下限。

但毕竟是特例，所以三位数学家认为9.5%~83%的整数范围可以进一步缩小。

接下来，他们打算在逆定理完全成立的情况下，将9.5%的下限数值进一步提高到接近5/12。

该领域的学者认为，这一突破表明数学家们从证明贝赫和斯维内顿—戴尔猜想又向前迈进了一大步。

在这项研究之前，三位数学家已经在数论领域合作过几次。

其中，阿里·施尼曼和曼纽尔·巴尔加瓦早在2012年就在数论领域进行了合作，曼纽尔·巴尔加瓦在普林斯敦大学攻读博士期间曾是勒万特·阿尔普热的导师。

哈佛大学初级研究员Levent Alp ge毕业于哈佛大学数学系，获得物理学硕士学位，之后又获得普林斯顿大学数学硕士和博士学位

他在2015年获得了摩根奖，该奖每年颁发给数学研究杰出的大学生。

Ari Shnidman是以色列希伯来大学数学系的高级讲师他的研究兴趣是数论，包括算术统计和算术几何

曼纽尔·巴尔加瓦是普林斯顿大学的数学教授，毕业于哈佛大学，拥有学士和博士学位他的研究方向是几何数论

他因在几何数论领域的杰出贡献而获得2014年菲尔兹奖，包括开辟了计算小秩环数的新方法，以及估计椭圆曲线平均秩的界。

值得一提的是，他对椭圆曲线三次方程有理数解的研究也是获奖原因之一本研究中的两个有理数的立方和问题就是其中的一个特例

这一突破有许多理论基础，是基于曼纽尔·巴尔加瓦以前的工作。

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